영벡터공간과 해집합
Null Space of A
임의의 행렬 A가 있을 때, 행렬 A의 Nullspace란 방정식 Ax=0의 해집합으로 모든 해를 포함하여 N(A)로 표기한다. \(N(A)\ =\ \{ X\ |\ AX=0 \}\) Nullspace도 집합이지만, space가 될 조건을 만족하는지 알아봐야한다.
- closed under addition
- closed under scalar multiplication
\[\begin{aligned} \begin{cases} u\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +w\ =\ 0 \\ 5u\ +\ 4v\ +\ 9w\ =\ 0\\ 2u\ + 4v\ +\ 6w\ =\ 0\\ \end{cases} \\ \Rightarrow u + w = 0,\ v+w=0 \circled1 \end{aligned}\]Example
w=c 라고 한다면, u = v = -c 가 된다.
Solving Ax = 0 & Ax = b
만약 방정식의 갯수보다 변수의 갯수가 많을 때 해집합을 어떻게 구할 수 있을까?
Echelon form U
다음과 같은 행렬로 표현된 1차 연립방정식을 예를 들어 살펴보자.
- 주어진 1차 연립방정식을 가우스 소거법을 사용한다.
- 그런데 2행의 pivot element가 0이 되었기 때문에 해당 행에서 pivot element 다음의 원소를 pivot element로 취급한다.
- squared matrix가 아니기 때문에 대각 행렬을 명확히 표현할 수 없다. 그래서 Echelon Form을 사용하여 행렬을 표현한다.
- 결국 마지막 행의 element가 모두 0이 되는데 이것을 Row Reduced form이라고 한다.
이때 우리는 두 가지의 새로운 변수를 정의하고
- pivot variables : u, w
- free variables : v, z
pivot variables 들을 free variables로 표현한다.
변수 v와 z와 column vector들의 곱으로 나타낼 수 있는데, 이때의 column vector들을 special solution이라고 한다.
즉, u,v,w,z의 4차원 집합에서 해집합에 해당하는 방정식을 적당한 실수배를 한 뒤, 벡터로 표현할 수 있다.
신기하게도 Vector Space의 dimension은 바로 special solution의 갯수이다.