벡터공간의 차원과 4가지 부벡터공간
Dimension of vector space
- # of linearly independent vector
Rank of A
- # of independent column vectors
- # of independent row vectors
- # of pivots in Gaussian Elimination
Fundamental Subspace in A
임의의 벡터 A가 있을 때 A의 Vector Space 중에서 가질 수 있는 4가지의 부 벡터 공간의 Rank와 Dimension을 알아보자. \(\begin{aligned} A_{m \times n} X_n\ =\ \mathbb{b}\\ A_{2 \times 3}\ =\ \begin{pmatrix} 1 \ 0\ 0\ \\ 0\ 0\ 0\ \end{pmatrix} \end{aligned}\)
- Column Space : C(A) $\rightarrow$ linear combination of column vector
행렬 A는 2차원 행벡터 공간에서 1차원의 크기만 가진다.
- Null Space : N(A) (A를 영벡터로 만드는 벡터)
Gaussian Elimination을 통해 얻어진 pivot variable과 free variable을 나누면, 3차원 중 2차원만 각지게 된다.
- Row Space : $\mathbb{C} (A^T)$ $\rightarrow$ linear combination of row vectors
row space는 행렬 A를 Transpose한 것에 대한 column vector를 구한 것과 동일하다.
- Left Null Space : $N(A^T)$
이제 각 4가지 부벡터공간에 대한 관계를 그림을 통해 살펴보자.
위의 그림을 보면 알 수 있듯이, Dimension이 같은 vector들 끼리는 차원을 보완하며, 서로 수직인 관계인 vector space를 구성한다. 이것이 바로 행렬 A의 4가지 Subspace에 대한 특징이다.
