벡터의 선형독립과 기저벡터

선형독립과 기저 벡터를 알아보기 전에, pivot vector와 free vector를 알아보자.

Ax = b (1)

AX = b (b\neq 0)라는 행렬이 있다고 하자. 우리가 모르는 X를 구하기 위해서 Gaussian Elimination을 사용하면 된다. 계산 과정은 다음과 같다.

다음과 같이 b라는 벡터가 각각의 solution을 형성한다. 그 말은 b라는 벡터는 column vector space에 포함된다는 뜻이다.

3차원 vector인 b가 “$b_3 -2b_2 + b_3\ =\ 0$”인 조건이라는 것은 $b_1,\ b_2,\ b_3$ 를 x, y, z의 3차원 공간좌표라고 생각하면 하나의 원점을 지나는 평면의 방정식이고, 그 평면의 점을 지나야 된다. b가 Column Space에 속하기 때문에 column vector들의 조합이 평면 위의 점이 되야 한다. 또한 그 점들은 “$b_3 -2b_2 + b_3\ =\ 0$” 이 조건을 만족하는 아무 점이나 가능하다.

Ax = b (2)

\[\begin{aligned} b\ =\ \begin{pmatrix} 1 \\ 5\\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

그렇다면 b를 미리 설정한 뒤, 행렬 식의 solution을 구해보자. 계산 과정은 다음과 같다.

위 계산 과정에서 Gaussian Elimination을 통해 pivot vector를 구하는 과정에서 뜬금없이 0이 나왔다. 이럴 때 선형대수에서는 pivot vector가 0인지 0이 아닌지에 따라서 두가지의 변수로 나눈다.

• pivot variable ( $\neq$ 0)
• free variable ( = 0)

그런 뒤, pivot variable을 free variable로 나타낸뒤, special한 solution을 구한다.

Linear Independence

임의의 벡터 공간이 선형 독립이 되려면 다음과 같은 조건을 만족해야한다. \(\begin{aligned} c_1v_1\ +\ c_2v_2\ +\ \cdots +\ c_nv_n\ =\ 0\\ c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 \end{aligned}\) 계수들이 모두 0이 될 때만 영벡터를 만들 수 있다. 이러한 상황을 linear independent라고 한다.

Rank of A

선형대수에서 Rank라는 단어가 있는데, 이 단어가 정의되는 method는 다양하다.

• # of independent column vector
• # of independent row vector
• # of pivots in Gaussian Elimination
• Dimension of C(A)

Spanning

어떤 임의의 vector들로 온갖 종류의 Linear Combination을 통해서 Vector Space를 만드는데, 그 만들어진 Vector Space에 존재하는 vector들은 V.S를 spanning한다.

예를 들면,

위 예제들은 3차원 상의 column vector이다. 하지만 3개의 예제 모두 3-row에 해당하는 값이 0이므로 그 행은 의미가 없다. 그러므로 span 가능한 공간은 x-y 평면이 된다. 하지만 조합에 따라 vector들은 달라질 수 있다.

Basis (vector)

Basis vector는 다음과 같이 정의된다.

• # of minimum linearly independent vectors to span.

• linear combination is unigue from basis.

• But, basis is not unique for a vector space.