벡터공간과 열벡터공간
Vector Space
여태까지 우리는 변수가 3개인 3차원 공간에서의 해를 가우스 소거법을 통해 구할 수 있었다.
그렇다면 3차원 그 이상의 high dimension에서의 solution은 어떻게 얻을 수 있을까? 그리고 그 solution set은 어떤 모양일까? 그것을 정의하는 것이 Vector space이다.
방정식의 갯수보다 변수의 갯수가 많은 행렬식을 단순히 시각화 해보자.
이 행렬의 solution set은 해가 없거나 해가 무수히 많을 것이라고 예상할 수 있다.
예를 들어, 다음과 같은 연립방정식이 있다고 해보자. \(\begin{aligned} \begin{cases} 2u\ +\ v\ +\ w\ &=\ 5 \\ 4u\ -\ 6v\ &=\ -2 \end{cases} \end{aligned}\) 언뜻 보면 해를 구하는 것이 불가능해 보이지만, 고등학교 시절 세개의 변수를 통해 직선을 방정식을 구하는 방법을 배웠다. 이것에 대해서 더욱 깊에 말하자면, 그 직선의 방정식이 하나의 solution set을 이룬다고 생각하면 된다.
Vector Space & Subspace
Space라는 것은 수학적인 의미로 접근하면 집합을 나타낸다. 그런데 Space를 만족하기 위해선 몇가지 조건을 만족해야만 한다.
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Set closed under addition & scalar multiplication
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Set should involve origin
임의의 벡터 X, Y가 있을 때, 어떤 스칼라 값을 곱하든 더하든 X, Y가 속한 Vector Space에 동일하게 속해야하며, Vector space는 반드시 원점을 포함해야 한다.
또한 Vector Space가 가지는 특성들을 살펴보자.
임의의 벡터 X, Y, Z에 대해,
- X + Y = Y + X (교환법칙)
- X + ( Y + Z) = ( X + Y ) + Z (결합법칙)
- There is a zero-vector such that X + 0 = 0 + X = X (0은 스칼라가 아닌 영벡터)
- For each vector X, X + (-X) = (-X) + X = 0 (unigue 역원이 존재)
- 1 $\times$ X = X
- c(X+Y) = cX + cY (분배법칙)
- ($c_1$ + $c_2$)X = $c_1$X + $c_2$X
Subspace
모든 Vector Space에 대하여, 특정한 조건을 만족 시키는 집합을 Subspace라고 한다. 쉽게 생각하면 Vector Space의 부분집합의 개념이다.
\(\begin{aligned} s_1,\ s_2 \in \mathbb{S} \subset \mathbb{V}\\ c_1s_1,\ c_2s_2\ \in \mathbb{S} \end{aligned}\) 여기서 중요한 것은 Vector Space는 항등원이라는 개념이 존재해야 하므로 Subspace라 하더라도 전체 Vector Space의 원점은 같이 포함하고 있어야한다는 것이다. 만약 원점을 포함하지 않는다면 Vector Space라고 말할 수 없다.
반드시 원점을 포함해야 하는가?
원점을 지나는 직선과 원점을 지나지 않는 직선을 비교하여 살펴보자.
\(y\ =\ mx\ (m \neq 0)\ (x,\ y)\ \in \mathbb{R^2}\\
\mathbb{S} = \{ (x,\ y)\ | y\ =\ mx,\ m\ \neq 0 \}\)
- 원점을 지나는 직선이라는 Vector Space가 있을때, 임의의 두 점을 선택하여 어떠한 scalar 값을 곱하거나 더하더라도 직선을 벗어나지 않는다.
- 하지만 원점을 지나지 않는 직선의 Vector Space에서, 두 벡터를 더하면 직선을 벗어나게 된다. 즉, not closed 이므로 원점을 지나지 않으면 Vector Space를 구성하지 못한다.
## Column Space of A
임의의 행렬 A가 있을 때, 행렬 A의 열에 해당하는 모든 column vector의 linear combination으로 이루어진 집합이며, $\mathbb{C}(A)$로 표기 한다.
\(\begin{aligned}
A\ =\ [a_1,\ a_2,\ \cdots\ ,\ a_n ] \Rightarrow\ \sum_{i=0}^{n} c_ia_i\ (c_i\ is\ ramdom\ scalar )
\end{aligned}\)
여기서 b가 Column Vector에 속한다면 해가 있다는 것이고, 속하지 않는다면 해가 없다는 것이다.
이게 무슨 말이냐, 다음과 같은 예시를 살펴보자.
임의의 벡터 u와 v로 이루어진 평면적인 Vector Space가 있다고 생각해보자. 그때 각각의 벡터는 평면 위의 점(1,5,2 / 0,4,4)과의 linear combination으로 이루어져 있다. 그때 u와 v에 따라서 b는 변화 할 것이다. 만약 b가 해가 있다면, b는 두 벡터가 이루고 있는 평면위에 존재한다는 말이 된다.