역행렬과 전치행렬

Inverse matrix

‘역수’라는 개념을 알고 잇으면, 역행렬 또한 쉽게 이해할 수 있다. 먼저, 식을 통해서 살펴 보자. \(\begin{aligned} A_{n \times m}A^{-1}\ =\ A^{-1}A_{n \times m}\ =\ I \end{aligned}\) 얼핏보면 모든 행렬의 역행렬이 존재하지 않을까라는 생각이 들지만, 그렇지 않다.

역행렬이 가지는 기본적인 사항을 살펴보자.

(1) If GE produces n pivots, the inverse $(A^{-1})$ exists

여기서 n pivot은 diagonal element(대각행렬)을 뜻하며 0이 아니여야 한다.

(2) The inverse is unique

역행렬은 하나라는 말이다. 역행렬이 하나가 아니라는 가정으로 증명을 해보자. \(A^{-1} =B,\ A^{-1}=C\\ (BA)C\ =\ B(CA)\\ BA\ =\ CA\ =\ I\\ \Rightarrow C=B\) 결국 하나의 역행렬을 가질 수 밖에 없다.

(3) If $A^{-1}$ exists, X is unique.

Ax = b라는 방정식이 있을 때, x를 구하기 위해서 양변이 $A^{-1}$를 곱하고 그림을 살펴보면,

(4) Assume that there is a non-zero vector X such that Ax = 0 (b=0), then $A^{-1}$ does not exist.

Ax=0 이면, system 상에서 input signal이 없는 것과 마찬가지이기 때문에 A에 해당하는 역행렬은 존재하지 않는다.

(5) How to get inverse matrix of 2 by 2 squared matrix? \(\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} a\ b\\ c\ d \end{pmatrix} \rightarrow A^{-1} = \frac {1} {ad-cb} \begin{pmatrix} d\ -b\\ -c\ \ \ \ a \end{pmatrix} \end{aligned}\) (6) Diagonal Matrix

이때 대학행렬 원소 중 하나라도 0이 되면 역행렬은 존재하지 않는다.

(7) The inverse comes in the reverse order. \(\begin{aligned} (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1} \end{aligned}\)

Transpose

전치 행렬이라고 하며, 대각 행렬은 변하지 않는다. 각 원소의 행과 열을 바꾸면 된다. \(\begin{aligned} a_{ij} \rightarrow a_{ji} \end{aligned}\) 전치행렬에서는 다음과 같은 성질이 성립한다.