선형성 정의 및 1차 연립방정식의 의미

Linearity

선형이라는 말을 수학적으로 정의를 내리는 것은 매우 중요한 일이다. 흔히, Linearity라고 불리는데 이는 방정식이든 함수든 해를 필요로하는 시스템에서 선형성을 만족하느냐와 만족하지 않느냐로 해가 어떻게 달라질지 결정하기 때문이다.

다음은 선형성을 갖기 위한 2 가지의 조건이다.

(1) Superposition \(\begin{aligned} f(x_1+x_2)\ =\ f(x_1)\ +\ f(x_2) \end{aligned}\) (2) Homogeneity \(\begin{aligned} f(ax)\ =\ a\ \cdot\ f(x) \end{aligned}\) 위와 같은 두 조건을 만족할 때만 그 함수는 Linear하다라고 정의할 수 있다.

직선이면 Linear하다라고 말하지만, 반드시 원점을 지나는 직선이여야만 가능하다.

Basic Notation of Matrix (vector)

v라는 벡터가 있을 때 흔히 아래와 같이 표현한다. \(\begin{aligned} v = (a,\ b,\ c) \end{aligned}\) 이를 행에 대해서 표현했다고 해서 ‘raw vector’라고 표현한다.

선형대수에서는 벡터의 새로운 notation을 배워볼 것이다. 바로 벡터를 행렬로써 표현하는 것이다. \(\begin{aligned} v = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \end{aligned}\) 벡터를 열에 대해서 표현했다고 해서 ‘column vector’라고 표현한다.

Linear Combination

임의의 벡터로 연산이나 해를 구하고자 할 때, column vector들의 선형조합으로 해결하면 더욱 광범위한 범위의 문제를 해결할 수 있다. \(\begin{aligned} v = \begin{pmatrix} a_1\\ b_1\\ c_1 \end{pmatrix},\ w = \begin{pmatrix} a_2\\ b_2\\ c_2 \end{pmatrix} \end{aligned}\) 임의의 두 벡터가 있을 때, 미지수 $\alpha$와 $\beta$의 선형 결합으로 나타내보자. \(\begin{aligned} \alpha \cdot v + \beta \cdot w\ &=\ \alpha \begin{pmatrix} a_1\\ b_1\\ c_1 \end{pmatrix}\ +\ \beta \begin{pmatrix} a_2\\ b_2\\ c_2 \end{pmatrix} \end{aligned}\) 선형대수에서는 단순하게 행렬과 벡터의 곱으로 보기 보다, column vector들이 $\alpha$, $\beta$의 선형조합으로 이루어져 있구나를 생각할 필요가 있다.

그럼 우리는 1차 연립방정식을 단순히 연산의 개념이 아닌 미지수와 계수의 column vector의 곱으로서 표현할 수 있다는 것을 의미한다.

다음 포스팅에서 더욱 자세하게 살펴보자.