고유값과 고유벡터 및 대각화
Eigenvalue & Eigenvector
고유값 고유벡터는 해를 구하는 것 뿐만 아니라, 벡터 공간을 간단하게 표현하는 유용한 방법을 제공해준다.
Vector Space에 대한 행렬을 구하고 행렬에 대해서 Eigendvalue를 구하면, eigenvalue가 큰 방향에 대응하는 벡터가 eigenvector가 된다. \(\begin{aligned} A \mathbb{x}\ =\ \lambda X \end{aligned}\)
- $A$ : n x n matrix
- $\lambda$ : scalar multiplication (eigenvalue)
- $X$ : eigenvector
for non-zero $\mathbb{X}$
역행렬이 존재하지 않는 singular한 경우에 대해서 생각해보자. 역행렬이 존재하지 않는 다는 것은 행렬의 determinant가 0이라는 말이므로,
\(\begin{aligned}
det(A\ -\ \lambda I)\ =\ 0
\end{aligned}\)
미지수 $\lambda$에 대한 다항식의 n차식 n,m에 해당하는 어떤 존재의 해가 존재한다. 그 근을 구하는 것이 바로 eigenvector를 찾는 것이다.