함수 공간
Function Space(Hilbert Space)
우리가 해결해야할 모든 상황들은 함수라고 이루어져 있다고 해도 무방하다. 우리는 여태 행렬과 벡터로써 수월하게 solution을 찾는 방법을 알기위해 선형대수를 배웠다.
그럼 이제 우리가 학습한 것들인 Vector Space를 함수공간으로 나타내보자.
그것이 바로 Function Space(Hilbert Space)이다. \(\begin{aligned} &\Rightarrow\ expend\ vector\ space\ to\ functions.\\ &\Rightarrow\ V.S\ \in\ R^n\ \rightarrow\ Hilbert space\ \in\ R^{\infty}\\ &\Rightarrow\ x(t),\ y(t) \in\ H\ \ \ \ a \leq\ t\ \leq\ b \end{aligned}\) 임의의 행벡터 V가 있다. \(\begin{aligned} V\ =\ (V_1,\ V_2,\ \cdots\ V_n)^T \end{aligned}\) 이와 비슷하게 함수를 위의 벡터 처럼 표현해보자. t에 대한 함수 x(t)를 일정한 구간안에 나타내면, \(\begin{aligned} &\lim_{\triangle t \rightarrow\ 0} ( x(a),\ x(a+\triangle t),\ x(a+\triangle2t),\ \cdots\ , x(b))^T \\ \\ &\Rightarrow (x(t),\ y(t))\ =\ \lim_{\triangle t \rightarrow 0} \sum_{k=0}^{\infty} x(a+k \cdot \triangle t)\ y(a+k \cdot \triangle t)\\ &= \int_a^b x(t)y(t)\ dt \end{aligned}\) 두 번째 줄을 읽을 때 부터 적분의 향기가 난다. 결국 어떠한 함수를 적분하는 것이 벡터 공간을 함수로 적용하는 것이다.
\[\begin{aligned} (x(t)\ \cdot\ y(t))\ =\ \int_a^b x(t)y(t)\ dt\ =\ 0 \end{aligned}\]Orthogonality of function
\[\begin{aligned} X\ =\ \sum_{i=1}^n a_iV_i \rightarrow\ x(t)\ =\ \sum_{i=1}^{\infty} a_ib_i(t) \end{aligned}\]Basis Vector $\rightarrow$ Basis Function
\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n (q_i^Ta)q_i \rightarrow \sum_{i=1}^{\infty} (q(t), x(t)) q_i(t) \end{aligned}\]Orthonormal
- If given a basis vector $\rightarrow$ linear combination {$a_i$’s’} are unique.
- If given a basis fuction $\rightarrow$ series coefficients are unique.
특히, 어떤 basis function을 쓰느냐에 따라서 계수를 구하기 쉬울 수도 있고 어려울 수도 있기 때문에 특정한 basis를 쓰기도 한다.
Fourier Series
푸리에 함수의 basis function은 cosine, sine 함수이다.
\(\begin{aligned}
x(t)\ =\ \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(nt)\ +\ \sum_{m=0}^{\infty} b_n \sin(mt),\ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq t < 2\pi
\end{aligned}\)
어떤 모르는 신호가 들어왔을 때, 그 신호를 통해 Fourier Series를 구해서 그 계수들의 분포를 사전에 1,2,3,4,5,6에 해당하는 발음에 계수들의 분포와 비교를 한다. input 신호가 어떤 발음에 해당하는 신호인지 unique한 계수를 보면서 판단할 수 있다. 단순히 계수를 벡터처럼 표현된 값들을 들어오는 신호와 값이 얼마나 가까운지를 일대일로 대응시켜주면 된다. 그것이 바로 음성인식의 원리이다.