Gram-Schmidt Orthogonalization

Gram-Schmidt orthogonalization

임의의 independent vector가 주어졌다고 하자. \(\begin{aligned} a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \end{aligned}\) 만약 각각의 벡터의 orthogonal basis vectors를 찾을려고 한다면 그람슈미츠 방식을 사용하면된다.

Gram-Schmidt orthogonalization

1. 먼저 임의의 벡터 a, b를 순차적으로 표시해주고 첫 번째 표시한 벡터 a의 unit vector를 구해준다.

\[\begin{aligned} q_1\ =\ \frac {a} {|a|} \end{aligned}\]

1. 그 후 $q_1$ 방향의 직선으로 벡터 b를 project 시킨다. (파란색 부분) \(\begin{aligned} \frac {q_1^Tb} {q_1q} \cdot q_1\ =\ (q_1^Tb)q_1 \end{aligned}\)

그러면 다음과 같은 식이 나온다. \(\begin{aligned} b\ -\ (q_1^Tb)q_1\ \perp\ q_1 \end{aligned}\)

1. 그 후 초록색 벡터에 해당하는 것을 nomalization을 통해 새로운 유닛벡터를 구해준다.

\(\begin{aligned} \frac {b - (q_1^Tb)q_1} {|b - (q_1^Tb)q_1|}\ =\ q_2 \end{aligned}\)

1. 그럼 보라색 벡터에 해당하는 벡터는 $(q_2^Tb)q_2$로 구해질 수 있으며, 최종적으로 평행사변법에 의해서 벡터 b는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[\begin{aligned} b\ =\ (q_1^Tb)q_1\ +\ (q_2^Tb)q_2 \end{aligned}\]

1. 그럼 $q_3$도 마찬가지이다. $q_3$를 c라고 한다면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.